201-C32-MA / Mathématiques appliquées à l'informatique 1

Partie 1 : Systèmes numeriques

Les conversions

Les conversions decimal à binaires

Exemple : 397₁₀ = 1 1000 1101₂

397÷2 = 198 reste 1
198÷2 = 99  reste 0
 99÷2 = 49  reste 1
 49÷2 = 24  reste 1
 24÷2 = 12  reste 0
 12÷2 = 6   reste 0
  6÷2 = 3   reste 0
  3÷2 = 1   reste 1 ^j
  1÷2 = 0   reste 1 |

Les convestions binaires à décimales

101₂ = 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 5₁₀

1101₂ = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 13₁₀

Tableau comparatif

dec  | 0 | 1 | 2  | 3  | 4   | 5   | 6   | 7   | 8    | 9    |
bin  | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 |

Opération sur les nombres binaires

Opération d' addition en binaire

1+1 = 10
0+1 = 1
1+0 = 1
0+0 = 0
11+1 = 100

Soustraction en binaire

1-0 = 1
1-1 = 0
10-1 = 1
0-1 = 1
11-1= 10

Table des exposant de 2

2 | exp | =
2 |  0  | 1
2 |  1  | 2
2 |  2  | 4
2 |  3  | 8
2 |  4  | 16
2 |  5  | 32
2 |  6  | 64
2 |  7  | 128
2 |  8  | 256
2 |  9  | 512
2 | 10  | 1024

Multiplication en binaire

1×0 = 0
0×1 = 0
1×0 = 0
1×1 = 1

Division en binaire

10110 | 11 = 111 reste 1

10110 | 11
 11   |―――― 
―――   | 111 reste 1
 101  |
  11  |
 ―――  |
  100 |
   11 |
  ――― |
    1 |

Video d'aide supplemantaire

Représentation des nombres - partie 1 - la base 2

Représentation des nombres - partie 1 : la base 2 (Youtube)

Système hexadécimal (base 16)

Alphabet : 0..9ABCDEF (16 chiffres)

Conversion décimal à hexadécimal

728₁₀ = ?₁₆

728÷16 | 45 (reste  8) ^
 45÷16 | 2  (reste 13) | D
  2÷16 | 0  (reste  2) |

728₁₀ = 2D8₁₆

Conversion inverse : hexadécimal à decimal

13D₁₆ = ?₁₀

1×16² + 3×16¹ + 13×16⁰ = 256 + 48 + 13 = 317₁₀ (D₁₆ = 13₁₀)

Donc : 13D₁₆ = 317₁₀

Conversion décimal à hexadécimal via binaire

Quartet (4 chiffres) binaire corresponde à une chiffre hexadécimal !

317₁₀ = 0001 0011 1101₂ = 13D₁₆

732₁₀ = 10 1101 1100₂ = 2DC₁₆

Nombres fractionnaires (à base 2)

41,3₁₀ = 4×10¹ + 1×10⁰ + 3×10^-1

100,01₂ = 1×2² + 0×2¹ + 0×2⁰ + 0×2^-1 + 1×2^-2 = 4 + ¼ = 4,25₁₀

Conversion des nombres fractionnaires : binaire à décimal

2^-1 = ½ ; 2^-2 = ¼ ; 2^-3 = 1/8

Exemple :

101,1011₂ = ?₁₀

2² + 2⁰ + 2^-1 + 2^-3 + 2^-4 = 4 + 1 + ½ + 1/8 + 1/16 = ...

Conversion inverse : décimal à binaire

32,625₁₀ = ?₂

Partie entière : 32₁₀ = 10 0000₂

Partie fractionnaire : 0,625₁₀ = 0,101₂

0,625×2 | 1,250  | on lit les parties entières de haut en bas
0,25 ×2 | 0,5    v
0,5  ×2 | 1   «― on arrête sur 1 !

Représentation normalisée des nombres

L'outil à vérifier les conversions :

babbage.cs.qc.cuny.edu/IEEE-754/

Conversion ieee 775

Decimal to IEEE 754 Standard Binary Conversion

Example- IEEE 754 (32-Bit) to Decimal

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Partie 2 : Ensembles logique

CALCUL DES PRÉDICATS. BTS CG. BTS SIO. ACE PARIS

CALCUL DES PROPOSITIONS

Implications, réciproques et contraposées - Maths - MPSI 1ère année - Les Bons Profs

Théorème, contraposée, Réciproque - Bases de logique en Maths -Totolekoala

Connecteurs logiques

Tautologies

Raisonnement par l'absurde

Construction de fonctions logiques en Excel

Voici une façon très simple de construire des expressions logique relativement complexes en Excel.

Attention : ça marche bien avec les opérations, réalisées par fonctions de base (AND, OR, NOT), mais pas pour l'implication par exemple (pour ça je reviendrai plus tard).

Exemple : (P ⋀ ¬Q) ⋁ (¬P ⋀ Q)

Étape 1. Prenez l'opération avec la priorité la plus faible, celle qu'on devrait faire normalement en dernière ― ici c'est V. Mettez-la en place, (sans commencer par =), mais au lieu des operands mettez juste A et B, comme ça :

OR(A;B)

Notez : A = (P ⋀ ¬Q) et B = (¬P ⋀ Q).

Étape 2. Le premier operand A est complexe ― toute la parenthèse à gauche, c'est à dire (P ⋀ ¬Q). C'est en fait une autre operation, AND, ajouter la à la place de A :

OR(AND(P;C);B)

Notez que un des operand n'est plus complex, c'est juste P, on le met dans ça place ! Quand à ¬Q ― c'est encore complex, on l'a donc remplacé par C.

Notez : C = ¬Q

Étape 3. On remplace C par l'opération NOT(Q) :

OR(AND(P;NOT(Q));B)

Étape 4. ​On se souvient que B = (¬P ⋀ Q). Essentiellement c'est une autre operation AND sur deux operands, on l'ajoute donc :

OR(AND(P;NOT(Q));AND(D;Q))

Notez : D = ¬P

Étape 5. Une semple remplation à faire : D = NOT(P) :

OR(AND(P;NOT(Q));AND(NOT(P);Q))

Étape 6. Noubliez pas à remplacer les P et Q par les index de cellules Excel selons leurs positions sur votre feuille (A8 et B8 par exemple) et ajouter = avant toute l'expression pour que Excel commence à l'evaluer.

=OR(AND(A8;NOT(B8));AND(NOT(A8);B8))

L'important : procédez de l'opération la moins prioritaire jusqu'à la plus prioritaire.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.